MODE

What is mode?

A mode is the value of the observations which occurs most frequently.That is an observation with a maximum frequency is called mode.

Mode for ungrouped data:

In a ungrouped frequency distribution, it is possible to determine the mode by looking at the frequencies.In this we arrange the data in series and calculate the frequencies of each variant.The Maximum frequency variant is mode.

---

Example:

The wickets taken by a bowler in 10 cricket matches are as follows: 2, 6, 4, 5, 0, 2, 1, 3, 2, 3. Find the mode of the data.

Solution :

Let us arrange the observations in order

i.e., 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6

Clearly, 2 is the number of wickets taken by the bowler in the maximum number of matches (i.e., 3 times).

So, the mode of this data is 2.

Example:

Find the mode of the following data of an individual series of scores 7, 10, 12, 12, 12, 11, 13, 13, 17.

Solution:

Scored 12 in 3 matches. So the Mode is 12.

Example:

Find the mode of the following data : 25, 16, 19, 48, 19, 20, 34, 15, 19, 20, 21, 24, 19, 16, 22, 16, 18, 20, 16, 19.

Solution:

19 has maximum frequency of 5.

So, the mode is 19

---

Do this:

1. Find the mode of the following data.

a) 5, 6, 9, 10, 6, 12, 3, 6, 11, 10, 4, 6, 7.

6 has maximum frequency of 4.So the mode is 6.

b) 20, 3, 7, 13, 3, 4, 6, 7, 19, 15, 7, 18, 3.

3 and 7 has maximum frequency of 3.

So the mode is 3 and 7 (bi-modal)

c) 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6.

All the observations have repeated same number of times.So this data has no mode.

2. Is the mode always at the centre of the data?

No.May be in some data it is in center but not always in center.

3. Does the mode change. If another observation is added to the data in 2, 6, 4, 5, 0, 2, 1, 3, 2, 3? Comment.

Mode of this data is 2.If 3 added to this data mode of the data will be 2 and 3. If any other number added to this data mode will not be change.

4. If the maximum value of an observation in the data in 2, 6, 4, 5, 0, 2, 1, 3, 2, 3 is changed to 8,would the mode of the data be affected? Comment.

No change in mode.Because the mode will not effect by larger and smaller values.

---

Merits of Mode:

• It is easy to understand and is easy to calculate.
• It is not affected by extreme values.

Demerits of Mode :

• It is not always possible to find a clearly defined mode.
• It is not based upon all the observation.

Uses of Mode:

• The mode is the best choice, for example to find the most popular T.V. programme being watched, the consumer item in greatest demand, the colour of the vehicle used by most of the people, etc.

---

Mode for Grouped data:

In a grouped frequency distribution, it is not possible to determine the mode by looking at the frequencies. Here, we can only locate a class with the maximum frequency, called the modal class. The mode is a value inside the modal class, and is given by the formula.

where,

`l` = lower boundary of the modal class,

`h` = size of the modal class interval,

`f_1` = frequency of the modal class,

`f_0` = frequency of the class preceding the modal class,

`f_2` = frequency of the class succeeding the modal class.

---

Example :

A survey conducted on 20 households in a locality by a group of students resulted in the following frequency table for the number of family members in a household:

Family size	1 - 3	3 - 5	5 - 7	7 - 9	9 - 11
Number of families	7	8	2	2	1

Find the mode of this data.

Solution :

Family size	Number of families
1 - 3	7 `f_0`
`l` 3-5	8 `f_1`
5-7	2 `f_2`
7-9	2
9-11	1

Here the maximum class frequency is 8, and the class corresponding to this frequency is 3 - 5. So, the modal class is 3 - 5.

Now

modal class = 3 - 5, lower limit (`l` ) of modal class = 3,

class size (`h`) = 2

frequency ( `f_1` ) of the modal class = 8,

frequency ( `f_0` ) of class preceding the modal class = 7,

frequency (`f_2`) of class succeeding the modal class = 2.

Now, let us substitute these values in the formula :

Mode `=l+[{f_1-f_0}/{2f_1-f_0-f_2}]times h`

`=3+[{8-7}/{2times8-7-2}]times 2`

`= 3 + 2/7 = 3.286`

Therefore, the mode of the above data is 3.286.

బాహుళకం

బాహుళకం అంటే ఏమిటి?

ఇవ్వబడిన పరిశీలనల్లో లేదా రాశులలో ఎక్కువ సార్లు పునరావృతం అయ్యే రాశిని బాహుళకం అని అంటారు.

అవర్గీకృత దత్తాంశం బాహుళకం:

అవర్గీకృత దత్తాంశం లో బాహుళకంను చూడటం ద్వారానే చెప్పవచ్చు. దత్తాంశంలోని రాశులలో ఎక్కువసార్లు పునరావృతం అయ్యే రాశే బాహుళకము అవుతుంది.

---

ఉదాహరణ :

10 క్రికెట్ మ్యాచ్ లలో ఒక బౌలర్ తీసిన వికెట్లు ఈ విధంగా వున్నాయి. 2, 6, 4, 5, 0, 2, 1, 3, 2, 3. ఈ దత్తాంశానికి బాహుళకమ్ కనుగొనండి .

సాధన :

దత్తాంశం లోని రాశులను ఒక క్రమ పద్దతిలో అమర్చగా

0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6

ఈ దత్తాంశం ను పరిశీలిస్తే ఎక్కువ మ్యాచ్ లలో 2 వికెట్లు (3 సార్లు) తీసినట్లు తెలుస్తుంది

అనగా ఈ దత్తాంశం యొక్క బాహుళకము 2.

ఉదాహరణ :

ఒక వ్యక్తి ఒక సిరీస్ లో చేసిన పరుగులు ఈ విధంగా వున్నాయి 7, 10, 12, 12, 12, 11, 13, 13, 17 ఈ దత్తాంశానికి బాహుళకము కనుక్కోండి.

సాధన :

12 పరుగులను 3 మ్యాచ్ లలో చేశాడు కావున బాహుళకము 12.

ఉదాహరణ:

ఈ దత్తాంశానికి బాహుళకము కనుక్కోండి? 25, 16, 19, 48, 19, 20, 34, 15, 19, 20, 21, 24, 19, 16, 22, 16, 18, 20, 16, 19.

సాధన:

గరిష్టంగా పౌనఃపున్యం 5, 19కి ఉంది .

కావున బాహుళకము 19

---

ఇవి చేయండి :

1.ఈ దత్తాంశానికి బాహుళకము కనుక్కోండి? .

a) 5, 6, 9, 10, 6, 12, 3, 6, 11, 10, 4, 6, 7.

గరిష్టంగా పౌనఃపున్యం4, 6 కి ఉందికావున బాహుళకము 6.

b) 20, 3, 7, 13, 3, 4, 6, 7, 19, 15, 7, 18, 3.

గరిష్టంగా పౌనఃపున్యం 3, 3 మరియు 7 లకు ఉందికావున బాహుళకము 3 మరియు 7.

దీనిని ద్వి బాహుళక దత్తాంశము అంటారు

c) 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6.

.అన్ని పరిశీలనలు గరిష్టంగా ఒకే పౌనఃపున్యం కలిగి వున్నాయి కావున దీనికి బాహుళకములేదు.

2.బాహుళకము ఎల్లప్పుడు దత్తాంశం మద్యలో వుంటుందా ?

ఉండదు.

3. .ఈ దత్తాంశానికి మరొక రాశి ని చేరిస్తే 2, 6, 4, 5, 0, 2, 1, 3, 2, 3 బాహుళకము మారుతుందా ?

ఈ దత్తాంశానికి బాహుళకము 2.ఈ దత్తాంశానికి 3 ని చేరిస్తే బాహుళకము 2 మరియు 3 అవుతుంది. 3 ను కాకుండా ఏ ఇతర అంశాన్ని చేర్చినా బాహుళకము మారదు .

4. 2, 6, 4, 5, 0,2, 1, 3, 2, 3 ఈ రాశుల యొక్క గరిష్ట విలువ 8 కి చేరిన దాని ప్రభావం దత్తాంశం యొక్క బాహుళకము పై వుంటుందా ? వ్యాఖ్యానించుము.

బాహుళకం లో ఏ మార్పు రాదు. బాహుళకం గరిష్ట కనిష్ట విలువల పై ఆధారపడి వుండదు

---

బాహుళకం సౌలభ్యం:

• దీనిని గణించటం తేలిక.
• ఇది గరిష్ట కనిష్ట విలువల పై ఆధారపడి వుండదు.

బాహుళకము లోపాలు :

• ప్రతి దత్తాంశానికి ఖచ్చితమైన బాహుళకము కనుగొనలేము.
• ఇది అన్నీ పరిశీలనాల మీద ఆధారపడి వుండదు.

---

వర్గీకృత దత్తాంశానికి బాహుళకం :

వర్గీకృత దత్తాంశానికి బాహుళకము ను పౌనఃపున్యము లను పరిశీలించి కనుగొనడం సాధ్యం కాదు.గరిష్ట పౌనహున్యము గల తరగతిని మాత్రం సూచించగలము అట్టి తరగతిని బాహుళక తరగతి అంటారు. ఈ క్రింది సూత్రం ఉపయోగించి మనం వర్గీకృత దత్తాంశానికి బాహుళకము కనుగొనవచ్చు

where,

`l` =బాహుళక తరగతి దిగువ హద్దు ,

`h` = బాహుళక తరగతి పొడవు ,

`f_1` =బాహుళక తరగతి పౌనఃపున్యం ,

`f_0` = బాహుళక తరగతికి ముందున్న తరగతి పౌనఃపున్యం ,

`f_2` =బాహుళక తరగతికి తరువాత ఉన్న తరగతి పౌనఃపున్యం .

---

ఉదాహరణ :

ఒక ఆవాస ప్రాంతంలో కొంతమంది విద్యార్ధుల బృందం 20 కుటుంబాలను సర్వే చేసి, కుటుంబ సభ్యుల సంఖ్యను ఈ క్రింది పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలో చూపడమైనది

కుటుంబ పరిమాణం	1 - 3	3 - 5	5 - 7	7 - 9	9 - 11
కుటుంబాల సంఖ్య	7	8	2	2	1

ఈ దత్తాంశానికి బాహుళకాన్ని కనుగొనండి.

సాధన :

కుటుంబ పరిమాణం	కుటుంబాల సంఖ్య
1 - 3	7 `f_0`
`l` 3-5	8 `f_1`
5-7	2 `f_2`
7-9	2
9-11	1

ఇచ్చట గరిష్ట తరగతి పౌనఃపున్యం 8, ఈ పౌనఃపున్యానికి సంభందించిన తరగతి 3-5

కావున బాహుళక తరగతి = 3 - 5, బాహుళక తరగతి దిగువ హద్దు (`l` ) = 3,

తరగతి పొడవు (`h`) = 2

బాహుళక తరగతి పౌనఃపున్యం ( `f_1` ) = 8,

బాహుళక తరగతికి ముందున్న తరగతి పౌనఃపున్యం ( `f_0` ) = 7,

బాహుళక తరగతికి తరువాత ఉన్న తరగతి పౌనఃపున్యం (`f_2`) = 2.

బాహుళకము `=l+[{f_1-f_0}/{2f_1-f_0-f_2}]times h`

`=3+[{8-7}/{2times8-7-2}]times 2`

`= 3 + 2/7 = 3.286`

`therefore` ఈ దత్తాంశానికి బాహుళకం = 3.286.